Um die Energiebilanz zu berechnen gibt es zwei verschiedene Ansätze. Eine Herleitung geht über einen Energieansatz und der zweite über Kraft und Beschleunigung. Um beide Ansätze zu verdeutlichen, ist hier eine Skizze:
Herleitung über Energieansatz:
Hierzu verwenden wir die Definition der Spannung und die Formel zur Berechnung einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung:
\( U=\frac{W}{q} \) und \(E_{kin}=\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2}\)

Nun stellen wir die Definition der Spannung nach der Energie \( W \) um: \( W=U \cdot q \)

Somit können wir beide Formeln gleichsetzen: \( W=E_{kin} \)
\( U \cdot q = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2} \) | \( \cdot 2 \)
\( 2 \cdot U \cdot q = m \cdot v^{2} \) | \( :m \)
\( \frac{2 \cdot U \cdot q}{m} = v^{2} \) | \( \sqrt{} \)
\( v = \sqrt{\frac{2 \cdot U \cdot q}{m}} \)

Herleitung über Kraft & Beschleunigung:
Hier nehmen wir uns nun die Formel der Mechanik und die Formel zur Berechnung der elektrischen Feldstärke und setzen diese gleich:
\( F_B = m \cdot a \)
\( F_E = E \cdot q = \frac{U}{d} \cdot q \)

\( m \cdot a = \frac{U}{d} \cdot q \) | \( :m \)
\( a = \frac{U \cdot q}{d \cdot m} \)

Da wir wissen, dass es eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus dem Stand ist, nutzen wir die Formel \( v = a \cdot t \). \( a \) haben wir bereits berechnet. Für \( t \) nutzen wir die Formel zur berechnung der zurückgelegten Distanz:
\( s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2} \), hierbei ist \( s = d \). Nun stellen wir nach \( t \) um:
\( t = \sqrt{\frac{2 \cdot d}{a}} \)

Nun setzen wir alles in die Formel \( v = a \cdot t \) ein:
\( v = a \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot d}{a}} \)
Um \( a \) unter die Wurzel zu kriegen, können wir einfach \( a \) quadrieren und erhalten folgende Gleichung:
\( v = \sqrt{\frac{2 \cdot d \cdot a^{2}}{a}} \), kürzen:
\( v = \sqrt{2 \cdot d \cdot a} \)
Jetzt können wir \( a \) einsetzen:
\( v = \sqrt{2 \cdot d \cdot \frac{U \cdot q}{d \cdot m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot U \cdot q}{m}} \)