Eine Funktion zwischen Vektorräumen und heißt lineare Abbildung, wenn...
- (Additivität)
- (Homogenität)
für alle Variablen und Konstanten gilt.
Lineare Abbildung mit Matrix:
Jede lineare Abbildung hat die zugehörige -Matrix , so dass gilt:
Die Spalten der Matrix sind die Bilder der Einheitsvektoren:
Begriffe
Kern:
Der Kern von ist die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden (). Der Kern ist ein Unterraum.
Bild:
Das Bild von ist die Menge aller erreichbaren Ergebnisvektoren. Alternative Schreibweise:
Für eine lineare Abbildung ist der Kern von ein Unterraum von und das Bild von ein Unterraum von .
Rang:
Der Rang von ist die Dimension des Bildes.
Dimensionsformel:
Die Dimension von Kern und Bild einer linearen Abbildung summieren sich auf zur Dimension des Definitionsbereichs.