Die Determinante ist eine Kennzahl für eine quadratische -Matrix.
bzw.
Berechnung:
Für eine Matrix lässt sich die Determinante wie folgt berechnen:
,
Für eine Matrix lässt sich die Determinante mit der Regel von Sarrus berechnen. Auf diese Methode gehen wie nicht ein und betrachten gleich .
Für eine Matrix lässt sich die Determinante durch den Entwicklungssatz von Laplace berechnen.
Allgemein für die Entwicklung nach der ersten Zeile:
Veranschaulicht an einer Matrix:
Die Determinante einer Matrix können wir mit der obigen Regel berechnen.
Geometrischen Bedeutung:
Die Determinante gibt an, wie sich das Volumen bzw. Fläche verändert, wenn man die Matrix als Transformation anwendet.
Lineare Abhängigkeit:
Wenn die Determinante einer Matrix aus Vektoren gleich Null ist, sind die Vektoren linear abhängig und die Matrix ist nicht invertierbar.
Cramersche Regel
Ein Verfahren zur Lösung eines LGS mit der Determinanten einer -Matrix . Dafür wird als Kombination der Spaltenvektoren betrachtet.
Um die -te Unbekannte () zu berechnen, ersetzt man die -te Spalte durch den Ergebnisvektor und berechnet die Lösung mit folgender Formel:
Somit wird bspw. für die erste Spalte durch ersetzt und mit der Formel berechnet.