Eine Menge beschreibt genau dann einen Vektorraum, wenn sich kein Vektor außerhalb von durch Vektoraddition und Skalarmultiplikation konstruieren lässt.
Kriterien:
D.h. folgende Bedingungen müssen für alle Elemente der Menge gelten:
- Addition
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-
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- Zu jedem gibt es ein , sodass
- Skalarmultiplikation
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- Distributivgesetz
-
Untervektorraum
Ein Untervektorraum ist eine Teilmenge, die selbst wieder ein Vektorraum ist (also ein "Raum im Raum" (z.B. Ebene im 3D-Raum)).
Kriterien:
Weil Rechenregeln vom Vektorraum in den Untervektorraum vererbt werden, muss nur geprüft werden, ob die Menge "in sich stabil" ist.
Daraus ergeben sich die folgenden Bedingungen:
- Nullvektor vorhanden (Neutrales Element)
- Abgeschlossenheit Addition
- Addition zweier Vektoren im Untervektorraum ergibt wieder einen Vektor im Untervektorraum
- Abgeschlossenheit Skalar-Multiplikation
- Skalar-Multiplikation eines Vektors im Untervektorraum ergibt wieder einen Vektor im Untervektorraum (z.B. Inverses also -1)
Wenn diese Kriterien erfüllt sind, handelt es sich um einen Untervektorraum.