Nun gibt es Situationen in den man die Funktion nicht ableiten kann, um die Kondition zu berechnen, weil man ggf. nicht kennt oder abbildet.
Hierfür betrachtet man den Fehler geometrisch.
Wir nehmen an, dass nicht unendlich weit weg liegt, sondern in einer Kugel um den echten Wert wobei das den maximalen relativen Fehler angibt, den wir in die Eingabe stecken.
Arten von Problemen
Man nennt ein Problem gut gestellt, wenn der relative Ausgangsfehler durch den relativen Eingangsfehler beschränkt werden kann.
Es muss eine feste Zahl (Lipschitz-Konstante) existieren, sodass der Ausgangsfehler maximal um den Faktor größer ist als der Eingangsfehler. Gibt es so eine Zahl nicht, weil der Fehler unendlich groß werden kann, ist das Problem schlecht gestellt.
Um die exakte relative Konditionszahl zu erhalten, lässt man den Fehlerradius gegen Null laufen:
differenzierbar:
Falls die Funktion komplex aber differenzierbar ist, kann man mit dem Mittelwertsatz, die Funktion handhabbar machen.
Matrix-Kondition
Die Matrix-Kondition ist ein wichtiges Produkt zur Berechnung der Kondition, welche wie folgt an einem Beispiel hergeleitet werden kann.
Man hat ein LGS , wobei der Vektor zu finden ist. Um die Kondition zu berechnen, stellen wir das Problem als Funktion dar:
- Eingabe: Fehlerhafte Vektor
- Ausgabe: Gesuchte
Jetzt setzt man in die allgemeine Formel für ein.
Da eine Matrixnorm nie größer als ist, können wir nach oben abschätzen.
Das kürzt sich weg und wir erhalten die Formel für die Kondition einer Matrix: