Dividierte Differenz
Die dividierte Differenzen werden verwendet, um die Koeffizienten für die Newton-Interpolationsformel rekursiv zu berechnen.
0-te dividierte Differenz (Start):
Höhere Stufen:
Bspw. oder mit drei Stützstellen .
Sonderregel für Hermite:
Fallen mehrere Stützstellen aufeinander, verwendet man die Ableitung:
Bspw.
Hinweis: Das ist lediglich ein Zeiger in der Definition. Für die Berechnung wandert man durch alle Stützstellen, d.h. es gilt .
Schema zum Berechnen:
Da diese Formeln recht abstrakt wirken können, gibt es ein einfaches Schema, nachdem man die dividierten Differenzen berechnen kann. Zum Schluss liest man die rechte obere Diagonale ab.
Analog für mehrere Stützstellen
Newton-Interpolationsformel:
Hierbei ist wichtig zu unterscheiden, dass bei Lagrange alle Stützstellen strikt voneinander verschieden sind und bei Hermite dürfen die Stützstellen auch identisch sein.
Lagrange Polynome
Lagrange Polynome ist ein anderer Weg dasselbe Polynom aufzustellen wie mit der Newton-Interpolation. Gegeben seien verschiedene Punkte . Für jedes ist das Basispolynom definiert durch:
, wobei im Zähler und im Nenner weggelassen wird.
Hinweis: Wie bei dividierten Differenzen ist die aktuellen Stützstelle, während als Zeiger fungiert.
Die Basispolynome haben die Eigenschaft, dass sie an ihrer eigenen Stützstelle genau sind und an allen anderen :
Lagrange-Interpolationsformel:
Das eindeutig bestimmte Polynom lässt sich direkt als Summe aus den Funktionswerten multipliziert mit den Basispolynomen zusammensetzen:
Wichtige Eigenschaft (Eins-Konstanz):
Aus der Eindeutigkeit folgt, dass die Summe aller Basispolynome für jedes beliebige immer exakt ergeben muss: