Polynom
Eine Funktion
, wobei heißt Polynom vom Grad bzw. (Menge aller Polynome -ten Grades)
Interpolation
Nun versucht man, eine meist komplexe Funktion durch ein Polynom mit gewählten Punkten zu approximieren. Diese Punkte nennt man Stützstellen (oder auch Interpolationspunkte)
Lagrange:
Bei der Lagrange-Interpolation wird ein Polynom gebaut, das jeden gewählten Punkt trifft:
mit
Hermite:
Bei der Hermite-Interpolation bezieht man auch die Ableitung (Steigung, Krümmung, etc.) an den gewählten Punkten ein:
mit .
Um das Polynom vom maximalen Grad eindeutig zu bestimmen, muss die Gesamtzahl aller Bedingungen (Anzahl an Vorgaben an ) mit der Anzahl der unbekannten Koeffizienten übereinstimmen.
Fehlerabschätzung:
Da das Interpolationspolynom die Funktion nur an den Stützstellen trifft, entsteht an allen anderen Stellen in ein Fehler. Für diesen gilt:
Günstige Interpolationspunkte
Wählt man äquidistante Stützstellen, kann der Interpolationsfehler am Rand des Intervalls stark ansteigen (ein berühmtes Beispiel ist die Runge-Funktion).
Lösung:
Um den Fehler minimal zu halten, muss man die Stützstellen am Rand dichter setzen als in der Mitte. Dies kann man erreichen, indem man über das Intervall einen Halbkreis spannt, darauf Punkte äquidistant verteilt und senkrecht auf die -Achse projiziert. Diese Punkte sind die Nullstellen des Tschebyscheff-Polynoms .
Für das Intervall lassen sich die Stützstellen wie folgt berechnen:
, für
Tschebyscheff-Polynom:
Das Polynom ist wie folgt definiert.
für
Für genau diese Punkte wird der Term minimal.