Komplexe Funktionen lassen sich oft nicht gut genug durch Polynome approximieren, Aus diesem Grund werden häufig stückweise Polynome (die sogenannten Splines) verwendet.
Architektur von Splines
Ein Spline vom Grad auf einem Intervall ist eine Funktion, die aus aufeinanderfolgenden Polynomstücken besteht, wobei die Polynomstücke an den Knoten (Grenzpunkt zwischen zwei Polynomstücken) -mal differenzierbar sind.
So entsteht eine Funktion , die alle Interpolationspunkte trifft und an den Übergängen der Polynome keine Sprünge oder Knicke haben.
Hinweis: ist ein Platzhalter für das Einsetzen von und .
Splineraum:
Um die stückweisen Funktionen berechnen zu können, definieren wir den Splineraum. Dazu nutzen wir zwei grundlegende mathematische Räume:
- : Menge aller Funktionen, die auf stetig sind
- : Menge aller Funktionen, die auf -mal stetig differenzierbar sind
Der Raum der Splinefunktionen von Grad mit Teilintervallen auf der Knotenmenge ist wie folgt definiert:
Abgebrochene Funktionen:
Um ein Spline aus einzelnen Polynomteilstücken in einer Formel darzustellen, definiert man folgendes:
Man nutzt für jeden inneren Knoten eine "Schalter-Funktion". Diese Funktion bleibt inaktiv, bis man den Knoten überschreitet.
Spline-Funktion:
Jeder Spline ist wie folgt eindeutig darstellbar:
, wobei .
Insbesondere gilt:
Polynomteilstücke:
Auf jedem Teilstück verhält sich der Spline wie ein isoliertes Polynom:
für und
Beispiel
Hier ist eine stückweise Funktion auf dem Intervall mit der Knotenmenge und dem inneren Knoten :
Man kann die Knoten auch überprüfen: und .
Mithilfe der abgebrochenen Funktionen lässt sich die Spline wie folgt umschreiben:
für
Berechnung
Interpolationsproblem:
[In Arbeit]
Schoenberg & Whitney:
[In Arbeit]